ตัวแทนสุ่ม (random sample)

ตัวแทนสุ่ม (random sample)

ในการทดลองหรือต้องการหาตัวแทนต้องมีวิธีการได้มาของตัวแทน เช่นในชั้นเรียนชั้นมัธยมปีที่1 ของโรงเรียนหนึ่งที่มีนักเรียน 100 คน  เราจะทำได้ด้วยการเอารายชื่อของนักเรียนทั้ง 100 คนมาเขียนลงบนกระดานแล้วทำม้วนใส่ลงในภาชนะ เขย่าแล้วหยิบมา 10 ใบ นักเรียนที่ถูกเลือกมา 10 คนนี้ถือว่าเป็นตัวแปรสุ่มของประชากร

 

คอมพิวเตอร์มีการสร้างตัวแปรสุ่ม ซึ่งปกติก็เป็นตัวเลขที่มีคุณสมบัติในการกระจายหรือมีโอกาสเท่ากัน เช่นถ้ามีการสร้างตัวเลขสุ่มของตัวเลขจาก 1 ถึง 100 จำนวน 10 ตัวเลข ตัวเลขเลขสุ่มนี้อาจจะนำมาแทนหมายเลขนักเรียนที่ถูกเลือกมา การใช้ตัวเลขสุ่มจึงเอามาใช้แทนการเลือกได้ หลักการของตัวเลขสุ่มมีหลักที่ต้องให้โอกาสของตัวเลขทุกตัวมีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ตัวแปร (Variable)

 

การทดลองหรือเก็บขอมูลจำเป็นต้องหาค่า ซึ่งอาจจะได้จากการสังเกต การตรวจวัด การสอบถาม เช่น การทดลองเกี่ยวกับการเจริญเติบโตของต้นถั่ว อาจจะต้องสังเกตและวัดความสูงของต้น การเก็บรวบรวมข้อมูลของแต่ละครั้ง เรียกว่าข้อมูล ข้อมูลมีลักษณะประจำ คือ มีความผันแปรกัน เช่น  ถ้าวัดความสูงของนักเรียน 10 คน ก็จะได้ตัวเลขข้อมูล 10 ข้อมูล

 

หากพิจารณาตัวแปร X ซึ่งแทนความสูงของเด็กนักเรียนในชั้นมัธยมปีที่ 1 จะเขียนได้เป็น 

X1 = 159	X2 = 160	X3 = 162	X4 = 155	X5 = 161
X6 = 164	X7 = 155	X8 = 163	X9 = 156	X10 = 166

 

เราเขียนแทนกลุ่มข้อมูล ดังนี้

( X1 , X2 , X3 , … Xn )

 

สมมุติว่า n = 10  ก็เขียนได้

(X1, X2, X3,..,X10)

 

ตัวแปรที่ใช้ยังแบ่งออกเป็นสองประเภท คือ	ตัวแปรต่อเนื่อง
	ตัวแปรไม่ต่อเนื่อง

 

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

 

ไซนูซอยดอล

ไซนูซอยดอล

ไซนูซอยดอลมีประโยชน์ได้มากมาย เพราะเป็นฟังก์ชันที่เป็นธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ เช่นการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา   การเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก สัญญาณทางไฟฟ้ากระแสสลับ สัญญาณอื่นที่เป็นรายคาบ ซึ่งสามารถใช้เทคนิคของอนุกรม แยกสัญญาณรายคาบนั้นออกเป็น สัญญาณรูปซายน์หลาย ๆ รูปประกอบกัน

รูปไซนูซอยดอลเขียนได้เป็น	เมื่อ
	x ( t )	เป็นค่าผลลัพธ์ที่ t ใด ๆ
	A	เป็นค่าสูง ที่เรียกว่า  แอมปลิจูด
		เป็นความถี่เชิงมุม  มีหน่วยเป็นเรเดียน<wbrต่อวินาที
	t	เป็นเวลา
		เป็นวัฎภาค หรือ phase angle   มีหน่วยเป็นเรเดียน

เกรเดียนท์(Gradient) และอัตรา (Rate)

เกรเดียนท์(Gradient) และอัตรา (Rate)

 

หลายคนคงเคยได้ยินคำกล่าวถึงภูเขาสูงชันมีเกรเดียนท์ของความสูงมาก กระแสลมแรงเพราะมีเกรเดียนท์ของความดันอากาศสูง กลิ่นน้ำหอมกระจายไปทั่วบริเวณจนรู้สึกหอมฉุนเพราะมีเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมสูง ในทางตรงกันข้าม เนินเขาที่มีความลาดชันต่ำย่อมแสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความสูงน้อย กระแสลมอ่อน ๆ แสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความดันอากาศน้อย และกลิ่นน้ำหอมที่กระจายไปทั่วบริเวณจนรู้สึกหอมจาง ๆ แสดงว่ามีเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมน้อย จากสิ่งที่กล่าวมานี้สามารถนิยามคำว่า เกรเดียนท์ ได้ดังนี้  เกรเดียนท์ของปริมาณใด ๆ คือ อัตราส่วนระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลงต่อระยะทางที่เปลี่ยนแปลงไป

 

 

เมื่อ	H	=	ระดับความสูงของพื้นที่
	P	=	ความดันอากาศ
	C	=	ความเข้มข้นของน้ำหอม
	S	=	ระยะทาง

 

เกรเดียนท์ที่มีค่าเป็นบวก แสดงว่ามีปริมาณเพิ่มขึ้นเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น เช่น ความดันอากาศที่กรุงเทพฯ 1,000 มิลลิบาร์ และความดันอากาศที่เชียงใหม่ 1,007 มิลลิบาร์ ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ 700 กิโลเมตร เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ คำนวณได้ดังนี้

G.P B–>C	=	(1007 – 1000) / (700-0)
	=	7/700
	=	1/100 มิลลิบาร์/กิโลเมตร

 

หมายความว่า เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่มีค่าเพิ่มขึ้น 1 มิลลิบาร์ ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้น 100 กิโลเมตร  ในทางตรงกันข้ามเกรเดียนท์ที่มีค่าเป็นลบ แสดงว่ามีปริมาณลดลงเมื่อระยะทางเพิ่มขึ้น เช่น เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างเชียงใหม่ถึงกรุงเทพฯ คำนวณได้ดังนี้

G.P C–>B	=	(1000 – 1007)/(700-0)
	=	-7/700
	=	-1/100 มิลลิบาร์/กิโลเมตร

 

หมายความว่า เกรเดียนท์ของความดันอากาศระหว่างเชียงใหม่ถึงกรุงเทพฯ มีค่าลดลง 1 มิลลิบาร์ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้น 100 กิโลเมตร  ในกรณีเกรเดียนท์ของระดับความสูง ก็เช่นเดียวกันกับเกรเดียนท์ของความดันอากาศ เกรเดียนท์จากระดับความสูงที่สูงมากลงมายังระดับความสูงที่น้อยกว่าจะมีค่าติดลบ ซึ่งในทางตรงกันข้ามเกรเดียนท์จากระดับความสูงน้อยขึ้นไปยังระดับความสูงที่สูงกว่าจะมีค่าเป็นบวก  เกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมเป็นบวกเมื่อคิดจากบริเวณที่มีกลิ่นหอมน้อยไปยังบริเวณที่มีกลิ่นหอมมาก และเกรเดียนท์ของความเข้มข้นของน้ำหอมมีค่าติดลบเมื่อคิดจากบริเวณที่มีกลิ่นหอมมากไปยังบริเวณที่มีกลิ่นหอมน้อยกว่า  เกรเดียนท์ของปริมาณใด ๆ ต่อระยะทางที่เพิ่มขึ้นสั้นมาก ๆ จนเกือบเป็นจุด เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับระยะทาง (Derivative with respect to distance) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใด ๆ ณ ตำแหน่งนั้นต่อระยะทางที่เปลี่ยนแปลงไปสั้นมากจนเกือบเป็นจุด    ในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงปริมาณใด ๆ ต่อเวลาที่เปลี่ยนแปลงไป กรณีนี้จะไม่เรียกว่า เกรเดียนท์ แต่เรียกว่า อัตรา (Rate) เช่น การเดินทางระหว่างกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม่ โดยรถยนต์จะใช้เวลา 7 ชั่วโมง อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อเวลา

(S2-S1) / (t2-t1)	=	(700-0)/(7-0)
	=	100 กิโลเมตร/ชั่วโมง

 

เนื่องจากเป็นการเปลี่ยนแปลงระยะทางที่เป็นช่วงยาวไม่เป็นจุด เช่นเดียวกันกับการเปลี่ยนแปลงเวลาที่เป็นช่วงยาวถึง 7 ชั่วโมง มิใช่การเปลี่ยนแปลงที่เวลาใดๆ จึงเรียกว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อเวลาของการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหม่นี้ว่าอัตราเร็วเฉลี่ย  อัตราการเพิ่มขึ้นของความดันอากาศที่เชียงใหม่เพิ่มขึ้นจาก 1,0007 มิลลิบาร์ เป็น 1,021 มิลลิบาร์ ตั้งแต่เวลา 19:00 นาฬิกา ถึงเวลา 21: 30 นาฬิกา หมายถึง อัตราเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นของความดันอากาศที่จังหวัดเชียงใหม่

=	(1,021 – 1,007) / (21:30 – 19:00)
=	14 มิลลิบาร์ / 3.5 ชั่วโมง หรือเท่ากับ 4 มิลลิบาร์ต่อชั่วโมง

 

ในกรณีนี้เป็นการเพิ่มขึ้นเฉลี่ย เนื่องจากในช่วงแรกอาจมีการเพิ่มขึ้นมากแล้ว เพิ่มขึ้นน้อยลงในช่วงหลัง หรืออาจมีการเพิ่มขึ้นเท่ากันตลอดเวลา หรือมีการเพิ่มขึ้นในช่วงแรกน้อย แต่เพิ่มขึ้นในช่วงหลังมากก็ได้  ถ้าต้องการทราบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาณใดๆ ขณะนั้นเป็นเท่าใด ช่วงเวลาที่เปลี่ยนแปลงไปจะต้องสั้นมากจนเกือบเป็นศูนย์ เรียกการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลาที่สั้นมากนี้ว่า อนุพันธ์เทียบกับเวลา (derivative with respect to time)    การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ เฉพาะตำแหน่งที่กำหนด เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงน้อยมาก เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับเวลาหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาณตามเวลา ณ ตำแหน่งที่กำหนด การเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดๆ เฉพาะเวลาที่กำหนดเมื่อตำแหน่งเปลี่ยนแปลงน้อยมาก เรียกว่า อนุพันธ์เทียบกับระยะทางหรือเกรเดียนท์ของการเปลี่ยนแปลงปริมาณจามระยะทาง ณ เวลาที่กำหนด

ครูจะใช้กิจกรรมใดได้บ้างในการสอนสถิติ

ครูจะใช้กิจกรรมใดได้บ้างในการสอนสถิติ

ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย รายวิชา ค 012 (ตามหลักสูตร ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533) มีเนื้อหาที่เพิ่มเติมในเรื่องสถิติกับการตัดสินใจและวางแผน และหัวข้อการเก็บรวบรวมข้อมูลโดยการสำรวจจากกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นเรื่องใหม่ สำหรับผู้สอน บางท่านอาจจะยังนึกไม่ออกว่าถ้าจะสอนโดยการใช้กิจกรรมที่จะช่วยทำให้นักเรียนมีความเข้าใจในสองเรื่องดังกล่าวได้ชัดเจนขึ้นจะทำอย่างไร

ในบทความนี้ จะขอเสนอแนะตัวอย่างกิจกรรมการเรียนการสอนในเรื่องดังกล่าวดังนี้ 

1) ตัวอย่างกิจกรรมเรื่องการใช้ข้อมูลสถิติในการตัดสินใจและวางแผนผู้สอนยกตัวอย่างเรื่องราวในชีวิตประจำวันที่ต้องอาศัยข้อมูลในการตัดสินใจ เพื่อให้นักเรียนร่วมกันอภิปราย เช่น

 

ประเด็นที่ 1	นักเรียนต้องการตัดสินใจว่าควรจะเลือกเรียนต่อในสาขาวิชาใดดี ที่จะจบออกมาแล้วหางานทำได้ง่าย
ประเด็นที่ 2	นักเรียนตัดสินใจเลือกสาขาวิชาที่จะสมัครสอบได้แล้ว และต้องการวางแผนว่า ควรจะสมัครสอบที่สถาบันใดบ้าง

 

 

สำหรับประเด็นที่ 1 ผู้สอนอาจจะสุ่มถามนักเรียนบางคนว่า จะเลือกเรียนต่อในสาขาใดที่จบออกมาแล้วจะหางานทำได้ง่าย และใช้ข้อมูลใดมาตัดสิน ซึ่งนักเรียนบางคนอาจจะตอบว่า เพื่อนบอกหรือยังไม่มีข้อมูล ผู้สอนอาจดำเนินกิจกรรมต่อ โดยให้นักเรียนแบ่งกลุ่มอภิปรายว่า ในการตัดสินใจควรจะหาข้อมูลใด และจากที่ใด ซึ่งคำตอบอาจจะเป็นดังนี้  1) จากโฆษณารับสมัครงานในหนังสือพิมพ์รายวันและรายสัปดาห์2) สอบถามจากครูแนะแนว3) สอบถามจากญาติพี่น้อง4) สอบถามจากรุ่นพี่ฯลฯ  หรือผู้สอบแนะให้นักเรียนช่วยกันหาข้อมูลจากโฆษณารับสมัครงาน หรือข่ายการศึกษาในหน้าหนังสือพิมพ์ เพื่อหาข้อสรุปว่า  1) ตำแหน่งใดมีการรับสมัครมากที่สุด2) วุฒิที่ใช้ในการทำงาน ส่วนใหญ่จะเป็นในระดับใด เช่น ปวช. ปวส. ปริญญาตรี3) ตำแหน่งงานใดที่ต้องการความรู้ หรือประสบการณ์อื่นในการสมัครงาน นอกจากวุฒิทางการศึกษาแล้ว4) ถ้านักเรียนไม่ศึกษาต่อในระดับอุดมศึกษาแล้ว จะมีงานใด ตำแหน่งใดหรือไม่ ที่รับผู้ที่จบการศึกษาในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย  เมื่อหาข้อสรุปได้แล้ว ผู้สอนควรชี้ให้นักเรียนเห็นความสำคัญ และความจำเป็นในการใช้ข้อมูลเพื่อการตัดสินใจและวางแผน โดยมอบหมายงานในประเด็นที่ 2 ให้นักเรียนช่วยกันทำกิจกรรม และนำข้อมูลมาเสนอต่อในชั้นเรียนก็ได้ เช่น  ถ้านักเรียนตัดสินใจได้แล้วว่าต้องการสอบเข้าศึกษาในสถานอุดมศึกษาใน กทม. และต้องการเลือกเรียนต่อในคณะพาณิชยศาสตร์และการบัญชี เพราะมีประกาศรับพนักงานบัญชีมากกว่าตำแหน่งอื่น ตัวอย่างข้อมูลที่ต้องหาเพิ่มเติมเพื่อประกอบการตัดสินใจและวางแผน ได้แก่  1) มีมหาวิทยาลัยใดบ้างที่มีสอนคณะบัญชี (ในสถาบันอุดมศึกษาของรัฐบาล/เอกชน)2) จำนวนนักศึกษาที่รับต่อปี3) วิชาที่ต้องสอบ และคะแนนสอบในปีก่อน ๆ ที่สามารถเข้าเรียนได้4) จำนวนนักศึกษาที่สมัครในคณะนี้ ในสถาบันต่าง ๆ5) ถ้าเป็นสถาบันของเอกชน ต้องเสียค่าใช้จ่ายปีละเท่าใด6)การเดินทางจากบ้านไกลหรือใกล้ มีความสะดวกหรือไม่ตัวอย่างที่ยกมานี้เป็นเรื่องที่ใกล้ตัว และอยู่ในความสนใจของนักเรียนทั่วไป ในการสอน ผู้สอนอาจจะยกตัวอย่างอื่น ๆ มาเป็นหัวข้อให้นักเรียนเลือกไปหาข้อมูลมา และฝึกหัดการตัดสินใจ โดยอาศัยข้อมูลที่หามาหรือจะให้นักเรียนหาหัวข้อที่อยู่ในความสนใจมาเสนอในชั้นเรียนเองก็ได้  2) ตัวอย่างกิจกรรม เรื่องการเลือกตัวอย่าง โดยการสุ่ม (random)  ในหัวข้อการเก็บรวบรวมข้อมูล โดยการสำรวจจากกลุ่มตัวอย่าง ได้กล่าวถึงการเก็บรวบรวมข้อมูลจากบางหน่วย ที่เลือกมาเป็นตัวแทน จากทุกหน่วยในประชากรที่สนใจศึกษา และวิธีการเลือกตัวอย่าง ชนิดที่ทราบโอกาสที่แต่ละหน่วย ที่ถูกเลือกขึ้นมาเป็นตัวอย่างโดยการสุ่มซึ่งโอกาสที่แต่ละหน่วยในประชากรจะถูกเลือกขึ้นมาเป็นตัวอย่างโดยการสุ่ม ซึ่งโอกาสที่แต่ละหน่วยในประชากรจะถูกเลือกขึ้นมาเป็นตัวอย่างมีเท่า ๆ กันนั้น วิธีการนี้ไม่ได้มีกล่าวไว้อย่างชัดเจนในหนังสือเรียน แต่วิธีการนี้เป็นวิธีการทางสถิติที่ใช้ในการเลือกกลุ่มตัวอย่าง ซึ่งผู้สอนอาจจะยกตัวอย่างโดยการใช้กิจกรรม เพื่อให้นักเรียนเกิดความเข้าใจในความหมาย และวิธีการสุ่มตัวอย่างโดยสรุปได้ ดังนี้  ผู้สอนยกตัวอย่างเหตุการณ์ที่ใช้การเลือกตัวอย่างโดยการสุ่ม เพื่อให้นักเรียนเข้าใจความหมายของการสุ่ม และเห็นตัวอย่างการใช้ตัวเลขสุ่ม (random digits) ในการสุ่มตัวอย่าง เช่น  สมมุติว่า ในชั้นเรียนของนักเรียน ทางโรงเรียนอนุญาตให้นักเรียนเดินทางไปร่วมกิจกรรมกับโรงเรียนในจังหวัดเชียงใหม่ได้ 15 คน โดยเลือกจากนักเรียนในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทั้งหมด 85 คน นักเรียนคิดว่ามีวิธีการใดในการเลือกตัวแทน โดยถือว่าทุกคนมีสิทธิ์เท่าเทียมกัน นักเรียนบางคนอาจจะตอบว่า ใช้วิธีจับฉลาก ซึ่งก็จะต้องมีข้อตกลงตามมา เป็นต้นว่า จะมอบให้ใครเป็นคนทำฉลาก ใครจะจับฉลาก หรือนักเรียนบางคนอาจจะตอบว่า ให้ทำแป้นสำหรับหมุนเพื่อสุ่มเลขประจำตัวนักเรียนออกมา แบบเดียวกับออกเลขรางวัล ซึ่งอาจจะมีผู้คัดค้านว่า เครื่องมือที่ทำอาจจะไม่เที่ยง ทำให้ไม่ยุติธรรม เป็นต้น เมื่อนักเรียนอภิปรายกันแล้ว ผู้สอนสรุปโดยเสนอแนะวิธีการใช้ตัวสุ่มเพื่อสุ่มหาตัวแทนนักเรียน 15 คน ดังนี้

 

200 Random Digits*
49487	52802	28667	62058	87822	14704	18519	17889	45869	14457
29480	91539	46317	84803	86056	62812	33584	70391	77749	64906
25252	97738	23901	11106	86864	55808	22557	23214	15021	54268
02431	42193	96960	19620	29188	05863	92900	06836	13433	21709
*Reprinted by permission of the Rand Corporation

 

1)	ผู้สอนให้นักเรียนดูตาราง และบอกนักเรียนว่า จะใช้วิธีเลือกตัวเลข 2 ตัวออกมาจากตาราง โดยตัวเลข 2 ตัว จะแทนชื่อของนักเรียนแต่ละคน โดยเริ่มตั้งแต่เลข 01, 02, …, 10, 11, …, 83, 84, 85
2)	ผู้สอนจะใช้วิธีการสุ่มโดยการเลือกตัวเลข 2 ตัว จากตัวเลขในแถวแรก ออกมา ซึ่งจะได้ดังนี้

ตัวเลขที่สุ่มออกมา 15 ชุด จะเห็นว่ามี 28 ซึ่งซ้ำกัน 2 ครั้ง และ 87 เป็นเลขที่ไม่ตรงกับหมายเลขของนักเรียนคนใด จึงต้องสุ่มเพิ่มอีก 2 ชุด ซึ่งจะได้ 18 และ 51 สรุปว่า นักเรียนที่ได้รับเลือกเป็นตัวแทนจำนวน 15 คน จะได้แก่นักเรียนที่มีหมายเลข

49    48    75    28    02    66    76    20    58  82 21    47    04    18    และ    51

การเลือกตัวเลขตัวแรกที่จะสุ่มนั้น ไม่จำเป็นจะต้องเลือกจากตัวเลขตัวแรกของตารางตามตัวอย่างที่ยกมา แต่อาจจะสุ่มเลือกตัวเลขตัวแรก โดยการให้นักเรียนหลับตา ใช้นิ้วชี้ตัวเลขในตารางก็ได้ และวิธีการเลือกตัวเลขจากตัวเลขตัวแรก อาจจะเลือกโดยเลือกลงมาตามแนวดิ่งแทนการเลือกตามแนวนอนดังตัวอย่างข้างต้น ซึ่งการเลือกโดยวิธีนี้จะได้ตัวเลข 15 ชุด ดังนี้

49    29    25    02    48    48    25    43    75    09    29    14 28    15    และ    77

สำหรับตารางตัวเลขสุ่ม (RANDOM DIGITS) ได้มีผู้จัดพิมพ์หลายบริษัท เช่น บริษัท Rand Corporation เป็นผู้จัดพิมพ์ A million Random Digits (New York : Free Rress) ในปี ค.ศ. 1955  ผู้เขียนหวังว่า สิ่งที่เสนอมาคงพอที่จะทำให้ผู้สอนได้เห็นแนวทางปฏิบัติในห้องเรียนในการสอนสถิติ ซึ่งผู้สอนบางท่านมีความเห็นว่า นักเรียนส่วนใหญ่ไม่สนใจ และไม่เห็นความสำคัญของวิชานี้ การใช้กิจกรรมช่วยเสริมในกรณีที่มีเวลาพอหรือผู้สอนเห็นว่าสมควรทำ โดยกิจกรรมบางส่วนอาจจะมอบให้ไปทำนอกเวลา อาจจะทำให้การเรียนการสอนวิชานี้น่าสนใจขึ้น และผลพลอยได้อีกประการหนึ่งก็คือ การที่ผู้สอนต้องรวบรวมข้อมูล หรือให้นักเรียนช่วยกันรวบรวมข้อมูล จากหนังสือพิมพ์รายวัน รายสัปดาห์ ก็จะเป็นการช่วยฝึกฝนให้ผู้สอนและนักเรียนได้ติดตามข่าวสารตลอดเวลา และทำให้เป็นบุคคลที่ทันต่อเหตุการณ์เสมอ

 

ความวิตกกังวลเกี่ยวกับ การศึกษาคณิตศาสตร์

ความวิตกกังวลเกี่ยวกับ การศึกษาคณิตศาสตร์

 

ข้อเขียนนี้เป็นความคิดเห็นของครูคณิตศาสตร์ คนหนึ่งชื่อ Al Cuoco ตีพิมพ์ในวารสาร The Mathematics Teacher ฉบับเดือนมีนาคม 1995 Al Cuoco เคยสอนโรงเรียนมัธยมที่รัฐแมสซาซูเซตส์ ปัจจุบันทำงานที่ Education Development Center รัฐแมสซาซูเซตส์  Cuoco กล่าวถึงการปฏิรูปการศึกษาคณิตศาสตร์ที่คนอเมริกันทั่วประเทศกำลังดำเนินการอยู่ในช่วงนี้ มีประเด็นจะต้องติดตามดูดังต่อไปนี้    เรายอมรับกันว่าการเรียนรู้และเข้าใจคณิตศาสตร์นั้นมีได้หลายวิธี เรากำลังฟังจากนักเรียนของเรา และพยายามปรับสิ่งที่เราได้รับฟังนั้นไปสู่วิธีสอนใหม่ เราทำให้คณิตศาสตร์เปิดกว้างสำหรับนักเรียนที่ไม่สามารถเรียนได้ในอดีตเพียงเพราะพวกเขาไม่สามารถเรียนรู้โดยการฟัง หรือการอธิบายเท่านั้น ให้สามารถเรียนได้   เรากำลังใชัเทคโนโลยีช่วยในการเรียนคณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ เครื่องคิดเลขกำงลังเข้ามามีบทบาทควบคู่กับหนังสือเรียน ในฐานะเป็นเครื่องมือสำหรับรายงานและถ่ายทอดความรู้ที่มีอยู่ ยิ่งไปกว่านั้น ในช่วงปลายทศวรรษนี้ เราจะยิ่งเห็นการใช้เทคโนโลยีอย่างกว้างขวาง เพื่อช่วยให้นักเรียนสามารถสร้างความรู้ใหม่ ๆ ได้     เรากำลังจะเห็นการเสื่อมสลายของข้อทดสอบมาตรฐานแบบเลือกตอบ ซี่งเป็นกลไกสำหรับคัดเลือกคนหนุ่มสาว วิธีประเมินผลแบบใหม่นั้นจะเป็นตัวบ่งชี้ว่า นักเรียนเข้าใจหรือใม่ โดยที่จะเป็นการช่วยทั้งนักเรียนและครูเป็นการประเมินให้รู้ว่าควรก้าวต่อไปหรือยัง มากกว่าประเมินเพื่อปิดโอกาส     เรากำลังเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับประสบการณ์ที่นักเรียนมีอยู่นอกห้องเรียน คณิตศาสตร์จะไม่เป็นจุดขายในเรื่องของการฝึกให้คิดอีกต่อไป นักเรียนจะเรียนคณิตศาสตร์สำหรับใช้ในบริบทที่มีความหมายเกี่ยวข้องกับชีวิต  ทั้งหมดที่กล่าวข้างต้นและอื่น ๆ อีกในกระบวนการปฏิรูปนี้ คาดว่าจะทำให้คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ใคร ๆ ก็สามารถเรียนได้ ความพยายามในการปฏิรูปนี้จะกำจัดคำกล่าวที่ว่า ”ฉันไม่เคยเรียนคณิตศาสตร์ได้ดีเลย” ไปจากการสนทนาพูดคุยกัน แต่ผมกำลังวิตก  ผมมองเห็นจุดหักเหของกระบวนการปฏิรูปนี้ว่ายิ่งจะทำให้คณิตศาสตร์เป็นวิชาสำหรับคนเก่งมากยิ่งไปกว่าปัจจุบัน ในความพยายามที่จะทำให้คณิตศาสตร์ง่ายและน่าสนใจสำหรับนักเรียนหมู่มากนั้น เราอาจจะต้องเปลี่ยนคำจำกัดความของคณิตศาสตร์ที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน  ผมวิตกว่าในอีก 10 ปีข้างหน้า คนจะพูดว่า “ฉันเรียนคณิตศาสตร์ได้ดี ฉันชอบคณิตศาสตร์” แต่ “คณิตศาสตร์” ที่พวกเขาเก่งและเขาชอบนั้น จะห่างไกลไปจากคณิตศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ใช้กัน และไม่เพียงแต่ต่างกันในระดับรายละเอียดด้านเทคนิคเท่านั้น ยังแตกต่างกันในระเบียบวิธีพื้นฐานอีกด้วย และส่วนที่มีความกังวลมากที่สุดคือ “คณิตศาสตร์สำหรับทุกคน” นั้น อาจไม่มีประโยชน์เลยในศตวรรษหน้า เหมือนกับคณิตศาสตร์ในโรงเรียนที่ว่าแย่ในศตวรรษนี้  แน่นอนว่า การทำนายอนาคตนั้นเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ แต่สิ่งที่แน่นอนอย่างหนึ่งคือ คณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นในศตวรรษนี้จะเป็นพื้นฐานสำหรับวัตกรรมทางด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีที่จะพัฒนาในศตวรรษหน้า กระบวนการคิด วิธีการมองสิ่งต่าง ๆ และ”อุปนิสัยด้านจิตใจ” ที่นักคณิตศาสตร์ก็ดี นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ก็ดี หรือนักวิทยาศาสตร์ใช้ จะสะท้อนอยู่ในระบบที่จะมีอิทธิพลในเกือบทุกด้านของชีวิตประจำวัน  ถ้าเราต้องการที่จะส่งเสริมให้นักเรียนของเราประสบความสำเร็จในชีวิตหลังจบจากโรงเรียนไปแล้ว เราจำเป็นต้องเตรียมพวกเขาให้สามารถใชั เข้าใจ บังคับ และปรับเปลี่ยนเทคโนโลยีที่ยังไม่เกิดขึ้น ณ วันนี้ได้ ความคาดหวังนี้หมายความว่า เราจะต้องช่วยเขาพัฒนากระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง  สำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมต้นและปลายที่ได้รับการปฏิรูปและจะใช้ในทศวรรษหน้านี้ ขาดสาระสำคัญทางด้านคณิตศาสตร์ที่ได้พัฒนามาแล้วหลายร้อยปีไป ดังนี้ภาวะนามธรรม คือ ส่วนที่จำเป็นสำหรับคณิตศาสตร์ ถึงแม้ว่าเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องเริ่มเสาะหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในบริเวณบทที่มีความหมายและเกี่ยวข้องกับตัวผู้เรียน แต่ก็มีความจำเป็นที่ต้องไม่หยุดอยู่แค่นั้น ถ้าปราศจากหลักการทั่วไปแล้ว คณิตศาสตร์จะกลายเป็นความยุ่งยากของกรณีพิเศษแต่ละกรณีไป  นิสัยของภาวะนามธรรมนี้น (ความสามารถที่จะค้นหาและแสดงออกซึ่งความคล้ายอย่างฉลาดระหว่างปรากฏการณ์ที่ดูเหมือนว่าแตกต่าง) เป็นเครื่องมือสำคัญในการเตรียมบุคลากรด้านคณิตศาสตร์ที่จะจบระดับมัธยมศึกษารุ่นต่อไปสัญลักษณ์คือเครื่องมือสำหรับการคิด ความสามารถที่จะประดิษฐ์ระบบสัญลักษณ์ที่เป็นแบบจำลองสถานการณ์นั้นเป็นหัวใจของคณิตศาสตร์ คนทุกสาขาอาชีพจำเป็นต้องสามารถตระเตรียมและคาดคะเนการคำนวณต่าง ๆ (แม้ในระดับที่ซับซ้อน) ในระบบสัญลักษณ์ทั้งหลายที่พวกเขาต้องใช้และประดิษฐ์ขึ้น ความสามารถที่จะวิเคราะห์คำนวณเกี่ยวกับจำนวน พหุนาม วิธีเรียงสับเปลี่ยน ฟังก์ชันและอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับนิพจน์นั้น เป็นส่วนสำคัญของการที่จะสามารถใช้เครื่องบังคับสัญลักษณ์ได้ ทักษะนี้เป็นสิ่งจำเป็นถ้าเราต้องการให้นักเรียนของเราได้รู้มากกว่าข้อความคาดการณ์จากข้อมูล จากรูปแบบที่พวกเขาสร้างการพิสูจน์และการอธิบายเป็นเทคนิคการวิจัย   คณิตศาสตร์นั้นต้องเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์มานับได้ 25 ศตวรรษแล้ว การพิสูจน์เป็นเทคนิคที่จะทำให้ผู้อื่นเชื่อถึงความจริง แต่หน้าที่ที่สำคัญกว่านี้ของการพิสูจน์ก็คือ การกำหนดการเชื่อมโยงทั้งหลายอย่างมีเหตุผล การเชื่อมโยงอย่างมีเหตุผลนี้สามารถนำไปสู่ญาณทัศนะใหม่ ๆ ได้ รูปสี่เหลี่ยมที่สร้างโดยการต่อจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่งคือ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ข้อเท็จจริงนี้สามารถตรวจสอบได้ด้วยการทดลอง แต่การที่รู้ว่าข้อเท็จจริงนี้แสดงได้โดยทฤษฎีเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้น ได้ผลสรุปที่เหนือกว่า ตัวอย่าง เช่น จะบอกได้ว่าเมื่อไรที่รูปสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นใหม่โดยวิธีข้างต้น คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนความจริงคือ พจน์สัมพัทธ์   ในฐานะที่เป็นครูคณิตศาสตร์มานานได้สอนนักเรียนมามากกว่า 2,000 คน และแต่ละคนก็มีความคิดเห็นเกี่ยวกับ “โลกแห่งความเป็นจริง” ที่ไม่เหมือนกัน แต่ละคนมีความแตกต่างกันทั้งด้านความสนใจ ชีวิตครอบครัว วัฒนธรรม และมีค่านิยมที่หลากหลาย ไม่ว่าเขาจะเริ่มต้นตรงไหน ผมจะพยายามขยายคำจำกัดความของความจริงในวิชาคณิตศาสตร์ให้แก่นักเรียนเสมอไป งานนี้บางทีก็ยาก แต่ผมเชื่อว่าผู้ใช้คณิตศาสตร์อย่างทรงพลังในศตวรรษหน้านั้น จะต้องเป็นคนที่มองเห็นคณิตศาสตร์ว่าเป็น “ส่วนของความจริง” “มากกว่าที่จะมองว่าคณิตศาสตร์เป็นเลนส์เกี่ยวกับความจริง ความเชื่อนี้หมายความว่า นักเรียนควรต้องเรียนการแจกแจงของจำนวนน้ำตาลในเมล็ดข้าว พวกเขาควรจะสามารถนำรูปแบบเชิงพีชคณิตไปใช้กับการเลื่อนไหลของการจราจรและเรขาคณิตได้  ก่อนที่จะไปไกลกว่านี้ คณิตศาสตร์ที่นักเรียนได้เรียนในโรงเรียนนั้น มีส่วนน้อยมากที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ที่ใช้นอกห้องเรียน ความเคลื่อนไหวในการปฏิรูปในปัจจุบันนี้ ได้รับการสนับสนุนอย่างกว้างขวางและได้รับอิทธิพลทางการเมืองให้ปรับเปลี่ยน สำหรับการปรับเปลี่ยนทั้งหลายทั้งปวงที่จะมีผลในทางปฏิบัตินั้น เราจำเป็นที่จะต้องเหลียวมองให้ลึก ซี้งยิ่งไปกว่าปัญหาในเรื่องเนื้อหาวิธีสอน และการประเมินผล เราจำเป็นที่จะต้องทำให้นักเรียนมัธยมมีประสบการณ์ด้านการวิจัยอย่างแท้จริงในวิชาคณิตศาสตร์ และเราจำเป็นต้องพัฒนาหลักสูตรที่มุ่งให้เกิดอุปนิสัยทางด้านจิตใจเป็นคณิตศาสตร์มากกว่าเนื้อหาเฉพาะ ผมเชื่อว่านักเรียนของเราขึ้นอยู่กับคำท้าทายนี้

การคิดเลขในใจเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็นและมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์

การคิดเลขในใจเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็นและมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์

การคิดเลขในใจ (Mental Math หรือ Figuring in You head) นั้นเป็นสิ่งสำคัญ จำเป็น และมีประโยชน์ในการเรียนคณิตศาสตร์ การฝึกคิดเลขในใจนั้นควรฝึกทุกระดับตั้งแต่ระดับประถมศึกษา แล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษา และหากนักเรียนมีทักษะการคิดเลขในใจในระดับมัธยมศึกษาแล้วก็จะช่วยส่งผลต่อการเรียนชั้นระดับอุดมศึกษาเช่นกันอย่างแน่นอน

 

การจัดกิจกรรมเพื่อให้นักเรียนได้ฝึกคิดเลขในใจนั้น ควรจัดผสมผสานไปในกระบวนการเรียนการสอน และกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์การคิดเลขในใจเป็นการคิดเลขที่ไม่ใช้เครื่องช่วย เช่น กระดาษ ดินสอ เครื่องคิดเลข เป็นการฝึกคิดเลขในหัว Jack A. Hope, Larry leutzinger,Barbara J.Reys และ Robert E.Reys เชื่อว่า การคิดเลขในใจจะก่อให้เกิดประโยชน์มากมาย ดังนี้

1. การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนแก่ปัญหาต่าง ๆ ได้ดีขึ้น (Calculation in your head is a practical life skill) โจทย์ปัญหาการคิดคำนวณในชีวิตประจำวันหลายต่อหลายแบบนั้นสามารถหาคำตอบได้โดยการคิดในใจ เพราะในความเป็นจริงขณะที่เราพบปัญหา เราอาจจะต้องการทราบคำตอบเดี๋ยวนั้นเลย การคิดหาคำตอบต้องทำในหัว ไม่ใช้กระดาษ คินสอหรือเครื่องคิดเลขยกตัวอย่าง เช่น ขณะที่เรากำลังออกเดินทางจากสนามบินแห่งหนึ่ง departure board ระบุว่า Flight ที่เราจะออกเดินทางคือ 15.35 น. เรามองดูนาฬิกาว่าขณะนั้นเป็นเวลา 14.49 น. ถามว่ามีเวลาเหลือเท่าไร ? เรามีเวลาเหลือพอที่จะหาอะไรทานไหม ? ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต้องคิดคำนวณในใจเลยซึ่งถ้าเราฝึกทักษะคิดเลขในใจมาประจำก็จะช่วยให้เราแก้ปัญหาดังกล่าวได้ง่ายขึ้น 
2. การฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเขียนแสดงวิธีทำได้ง่ายขึ้นและเร็วขึ้น (Skill at mental math can make written computaion easier or quicker) เช่นในการหาคำตอบของ 1,000 x 945 นักเรียนบางคนอาจเขียนแสดงการหาคำตอบดังนี้ 

   ในขณะที่นักเรียนซึ่งฝึกคิดลขในใจมาเป็นประจำสามารถหาคำตอบได้ในหัวข้อแล้ว และลดขั้นตอนการเขียนแสดงวธีทำเหลือแค่บรรทัดเดียวคือ 1,000 x 945 = 945,000 เช่นเดียวกับการหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้ 

   นักเรียนสามารถคิดในใจได้คำตอบ ถูกต้องแม่นยำและรวดเร็วโดยบวกจำนวนสองจำนวนที่ครบสิบก่อนแล้วจึงบวกกับจำนวนที่เหลือ (10 +10+ 10+ 2 = 32) ในขณะที่นักเรียนบางคนอาจใช้วิธีบวกทีละขั้นตอน ซึ่งกว่าจะได้คำตอบก็อาจใช้เวลามากกว่า

    

3. การคิดเลขในใจจะช่วยเสริมสร้างความสามารถในการประมาณ (Proficiency in mental math contributes to increased skill in estimation) ทักษะการประมาณเป็นเรื่องที่สำคัญในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเพราะการประมาณจะช่วยในการตรวจสอบคำตอบว่าน่าจะเป็นไปได้ไหม สามเหตุสมผลไหม (make any sence ) เช่น เป็นไปได้ไหมที่คำตอบของ 400×198 จะมากกว่า 80,000 (ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะว่า 400 x 200 = 80,000) 
4. การคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจเรื่องเหล่านี้ดีขึ้น คือ ค่าประจำหลัก การกระทำทางคณิตศาสตร์และสมบัติต่าง ๆ ของจำนวน (Mental calculator can lead to a better understanding of place value, mathematical operations, and basic number properties) ทั่งนี้เพราะหากนักเรียนสามารถหาคำตอบได้จากการคิดเลขในใจนั้นก็แสดงว่า นักเรียนต้องมีความเข้าใจในความคิดรวบยอดหลักการต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับจำนวนเป็นอย่างดีแล้วเช่นกัน

 

ครูควรให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดคิดเลขในใจหลังจากที่นักเรียนเข้าใจในหลักการและวิธีการแล้วการฝึกคิดเลขในใจจะช่วยให้นักเรียนมีทักษะ ความชำนาญในการคิดเลขได้อย่างถูกต้อง แม่นยำ และรวดเร็วนอกจากนี้ยังช่วยลับสมองให้ตื่นตัวตลอดเวลาในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ครูควรหาแบบฝึกหัดมาให้นักเรียนทำทั้งที่เป็นแบบฝึกหักสำหรับคิดเลขในใจปะปนอยู่ด้วยตลอดเวลา ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์บางครั้งจะเสนอแบบฝึกหัดให้นักเรียนตอบด้วยวาจา นั่นก็เป็นรูปแบบหนึ่งของแบบฝึกหัดที่ต้องการให้นักเรียนฝึกคิดเลขในใจ โปรดระลึกว่าการฝึกคิดเลขในใจนั้นควรให้นักเรียนได้ฝึกเป็นประจำทึกวันอย่างสม่ำเสมอทำวันละน้อยแต่ต่อเนื่องและควรทำกับนักเรียนทุกระดับตั้งแต่ประถมศึกษาจนถึงมัธยมศึกษาและอุดมศึกษา หากครูผู้สอนคณิตศาสตร์ทุกคนได้ฝึกให้นักเรียนได้รู้จักคิดเลขในใจเป็นประจำก็เชื่อได้ว่านักเรียนจะมีทักษะการบวกลบคุณหารดีขึ้นคิดได้ถูกต้อง แม่นยำและรวดเร็วขึ้นภาพลักษณ์ของเด็กไทยในศตวรรษที่ 21 อาจเป็น ” เด็กไทยคิดเลขเก่งและเร็วกว่าเครื่องคิดเลข” ก็ได้ 

 

คณิตศาสตร์กับดนตรี

คณิตศาสตร์กับดนตรี

ดนตรีเป็นสิ่งที่เข้ามาผูกพันกับชีวิตประจำวันของมนุษย์ มนุษย์ได้ยินเสียงจากธรรมชาติ และดัดแปลงนำเอาอุปกรณ์จากธรรมชาติมาสร้างเสียงดนตรี และยังพยายามเลียนแบบการสร้างสัญญาณเสียงดนตรีโดยใช้เทคโนโลยีสมัยใหม่ เช่น การใช้อิเล็กทรอนิกส์สร้างสัญญาณเสียงโดยตรง

            เครื่องดนตรีที่ใช้มีทั้งแบบที่เป็น เครื่องดีด เครื่องสี เครื่องตี และเครื่องเป่า ทั้งหมดให้เสียงออกมาและมีลักษณะเฉพาะตัวซึ่งแตกต่างกันไป

            ดนตรีจึงเกี่ยวพันกับคณิตศาสตร์อยู่มากพอ  เพราะการที่มีเสียงปรากฏออกมา เสียงแต่ละตัวโน้ตผูกพันสร้างความไพเราะ จึงจำเป็นต้องมีหลักการและหารูปแบบที่เหมาะสม เช่นในปัจจุบันมีการสร้างฟอร์แมต MIDI ซึ่งทำให้ไมโครคอมพิวเตอร์สามารถสร้างเสียงดนตรีหลายชิ้น ประสานเสียงกันได้อย่างไพเราะ การสร้างเพลงหนึ่ง ๆ จึงขึ้นกับ จังหวะ และการวางตัวโน้ต,  โทน ตามตัวโน้ต  และการผสมประสานเสียง

 

คณิตศาสตร์กับเวลา

คณิตศาสตร์กับเวลา             หลายคนคงนั่งคิดจินตนาการว่า กาลเวลาคืออะไร ทำไมเราจึงแบ่งช่วงเวลาของเราออกเป็นวินาที นาที  ชั่วโมง วัน เดือน ปี ระบบแห่งกาลเวลาที่ใช้กันในอดีตแต่ละท้องที่แตกต่างกัน ต่อมาปรับเปลี่ยนเข้าสู่ระบบสากลเพื่อความเข้าใจที่ตรงกัน เช่นปีใหม่ของไทยแต่โบราณใช้วันสงกรานต์ เป็นการบ่งบอกวันเริ่มต้นปีใหม่ ของจีนใช้วันตรุษจีน ปีใหม่สากลใช้วันที่ 1 มกราคม เป็นต้น

            ความจริงแล้วกาลเวลาเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยตรง จากที่กล่าวแล้วที่ชาวบาบิโลเนียได้แบ่งหน่วยตัวเลขในระบบฐานหกสิบ  และรู้จักกับการแบ่งเวลาในฐานหกสิบมากกว่าสองพันปีแล้ว เราแบ่งเวลาเป็นวินาที หกสิบวินาทีเป็นหนึ่งนาที หกสิบนาทีเป็นหนึ่งชั่วโมง และให้ยี่สิบสี่ชั่วโมงเป็นหนึ่งวัน

มนุษย์เกี่ยวข้องกับเวลามาตั้งแต่พัฒนาการเริ่มแรกของชีวิตโลก  เป็นส่วนหนึ่งของระบบสุริยะจักรวาล มีพัฒนาการมาหลายพันล้านปี กาลเวลาจึงสัมพันธ์กับชีวิตความเป็นอยู่ กาลเวลาสัมพันธ์กับธรรมชาติ มนุษย์สังเกตเห็นพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกในตอนเช้า และตกทางทิศตะวันตกในตอนเย็น เห็นดวงจันทร์ขึ้นและตกเช่นเดียวกัน แต่ปรากฏการณ์ของดวงจันทร์แตกต่างจากดวงอาทิตย์ คือ แต่ละวันขึ้นและตก แตกต่างเวลาออกไปเมื่อเทียบกับดาวอาทิตย์ และยังมีปรากฏการณ์แบ่งเป็นข้างขึ้นและข้างแรมดังที่เราเห็นอยู่ ชีวิตความเป็นอยู่จึงสัมพันธ์กับธรรมชาติ บนท้องฟ้าในเวลากลางคืนมีดาวเต็มท้องฟ้า ดาวที่เห็นมีทั้งดาวเคราะห์และดาวฤกษ์ มนุษย์รู้จักแยกแยะดาวเคราะห์และดาวกฤษ์ โดยเห็นดาวเคราะห์ที่ปรากฎเด่นชัดตั้งแต่หลายพันปีแล้ว ซึ่งได้แก่ดาวพุธ ดาวศุกร์ ดาวอังคาร ดาวพฤหัส ดาวเสาร์ และเมื่อรวมกับดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ จึงแบ่งสัปดาห์เป็นเจ็ดวัน และใช้ชื่อดาวที่รู้จักเป็นวันประจำสัปดาห์

 

คณิตศาสตร์กับดาราศาสตร์และโหราศาสตร์

คณิตศาสตร์กับดาราศาสตร์และโหราศาสตร์            คำว่า “ดารา” คือเรื่องเกี่ยวกับดวงดาว ดาราศาสตร์ เป็นวิชาการที่ว่าด้วยเหตุอันเกิดจากดาว (Astrology ) ส่วนคำว่า “โหรา” เป็นคำสันสกฤต ตรงกับภาษาละตินว่า Hora ซึ่งมีความหมายถึง เวลา วิชาที่ว่าด้วยการคำนวณเวลา

ความเชื่อในเรื่องโหราศาสตร์ หรืออิทธิพลของดวงดาวที่มีต่อมนุษย์โลกมีมานานแล้ว มีมาในทุกชาติทุกภาษา เราจะเห็นได้ชัดว่าสมัยพุทธกาลก็มีการกล่าวถึง วันประสูติ ตรัสรู้ ปรินิพพาน ซึ่งเกี่ยวข้องกับดวงดาว หรือแม้แต่วันมาฆะบูชา ก็เป็นวันที่เกี่ยวข้องกับดวงดาวทั้งสิ้น

ในประเทศจีนมีการใช้ปฏิทินมานานกว่าสามพันปี มีการคำนวณแนวทางเดินของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ทำให้ทราบวันที่จะเกิดสุริยุปราคา หรือจันทรุปราคาได้ก่อน และถูกต้องแม่นยำ และที่สำคัญคือทุกประเทศ ทุกชาติ มีตำนานเกี่ยวกับจักรราศี และใช้จักรราศีเหมือนกัน

ด้วยการสังเกตและเฝ้าติดตามดวงดาว โดยเฉพาะดาวเคราะห์ ดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์  โดยผู้สังเกตอยู่บนโลกทำให้มีการพัฒนาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ให้ก้าวหน้าได้มาก สามารถคิดหลักการทางด้านตรีโกณมิติ  โดยดูจากทรงกลมฟากฟ้า ใช้ในเรื่องการคำนวณหาค่าตัวเลขธรรมชาติหลาย ๆ ตัวเช่น พาย () ค่าซายน์ (sin) คอส (cos) แทน (tan) เป็นต้น

ตำแหน่งของดาวเคราะห์และดวงดาวทั้งหลายรวมทั้งดวงอาทิตย์ และดวงจันทร์ ปรากฏอยู่ในแผนที่ดาวที่นักโหราศาสตร์คิดคำนวณจากปฏิทินโหราศาสตร์ และนำมาใส่ไว้

 เช่น  สุริยคติกาล วันที่ 16 เมษายน 2531  วันเสาร์ขึ้น 1 ค่ำ เดือน 6 ปีมะโรง จ.ศ. 1350

หากเขียนแผนที่ดาวในรูปแบบดาวที่ใช้ในทางโหราศาสตร์จะได้รูปวงกลมที่แบ่งออกเป็นส่วนรอบ ๆ 12 ส่วน  และมีสี่เหลี่ยมกลาง

ตำแหน่งดาวต่าง ๆ ปรากฏอยู่บนแผนภาพ โดยถือว่าโลกเป็นจุดศูนย์กลาง หรือที่เรียกว่า Geocentric Measuement

ตำแหน่งของดาวจะโคจรเสมือนโคจรรอบโลก ทั้งนี้เพราะจุดสังเกตคือเราอยู่บนพื้นโลก ซึ่งคิดว่าคงที่ โดยดูการเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ ซึ่งเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวจักรราศี

 

การถดถอยและการคาดคะเนค่า

การถดถอยและการคาดคะเนค่า

 

การที่จะคาดคะเนเงินเดือนเริ่มต้นของบัณฑิตปริญญาตรีที่ไปทำงานในบริษัทเอกชนจากคะแนนเฉลี่ยสะสมหรือ GPA สามารถทำได้หรือไม่ ความเป็นไปได้ในการคาดคะเนขึ้นอยู่กับตัวแปรทั้งสอง ได้แก่ เงินเดือนเริ่มต้นและ GPA ว่ามีความสัมพันธ์กันหรือไม่ เมื่อตัวแปรมีความสัมพันธ์กันมาก การทราบค่าของตัวแปรหนึ่งจะช่วยให้ทำนายค่าของอีกตัวแปรหนึ่งได้ใกล้เคียง แต่ถ้าระดับความสัมพันธ์ไม่สูง สิ่งที่ทราบเกี่ยวกับตัวแปรหนึ่งก็ไม่ช่วยในการคาดเดาค่าของอีกตัวแปรมากนัก  ความเข้าใจในสถานการณ์ต่าง ๆ และความสามารถในการคาดการณ์ล่วงหน้าให้ถูกต้องเป็นประโยชน์อย่างมากในการตัดสินใจ ดังนั้น เมื่อทราบว่าตัวแปรมีความสัมพันธ์กันสูง จึงต้องการหาสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่บอกว่าค่าของตัวแปรที่สนใจเปลี่ยนแปลงตามค่าของตัวแปรอื่นอย่างไร สิ่งที่ได้จากสมการดังกล่าวคือ จะประมาณหรือคาดคะเนค่าของตัวแปรนั้นจากค่าของตัวแปรอื่นได้ ตัวแปรที่สนใจทำนายค่าเรียกว่า ตัวแปรตาม (dependent variable) ส่วนตัวแปรอื่นเรียกว่า ตัวแปรอิสระ (independent variable) ทั้งนี้ คิดว่าตัวแปรอิสระมีอิทธิพลทำให้ตัวแปรตามเปลี่ยนค่าตามไป เช่น ความสูงของบิดาคือตัวแปรอิสระที่มีอิทธิพลต่อความสูงของบุตรชายซึ่งเป็นตัวแปรตาม  ในเรื่องของเงินเดือนและ GPA เงินเดือนเริ่มต้น คือ ตัวแปรตามที่ต้องการคาดคะเนค่าจากตัวแปรอิสระ GPA ถ้ามีข้อมูลเงินเดือนเริ่มต้นและ GPA ของบัณฑิตหลายคนที่ผ่านมา ข้อมูลนั้นนำมาศึกษาหาความสัมพันธ์ระหว่างเงินเดือนเริ่มต้นและ GPA ได้อย่างไรก็ตาม ในหลาย ๆ กรณีที่เกิดขึ้น ตัวแปรตามมักได้รับอิทธิพลจากตัวแปรอิสระหลายตัว เงินเดือนเริ่มต้นนอกจากจะขึ้นกับ GPA แล้ว ยังอาจขึ้นกับสาขาวิชาและสถาบันที่จบมา เพศ ประเภทของงาน สถานที่ตั้งของบริษัท และตัวแปรอื่น ๆ อีกมาก โดยทั่วไปจะไม่สามารถรวบรวมข้อมูลของปัจจัยทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตามมาได้หมด การทำนายค่าของตัวแปรตามให้ถูกต้องแน่นอน จึงเป็นไปได้ยาก สำหรับในที่นี้ จะสนใจเฉพาะรูปแบบความสัมพันธ์อย่างง่ายคือ มีตัวแปรอิสระตัวเดียวและลักษณะความสัมพันธ์อยู่ในรูปเส้นตรง การจะทำนายค่าตัวแปรตามให้ใกล้เคียงจึงอยู่ที่สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระต้องมีค่าสูง  เพื่อให้สอดคล้องกับแผนภาพการกระจาย ให้ x เป็นตัวแปรอิสระ และ y เป็นตัวแปรตาม ความสัมพันธ์แบบเส้นตรงระหว่างตัวแปร x และ y เขียนเป็นสมการเส้นตรงที่ลักษณะของเส้นกำหนดโดยค่าคงที่ 2 ค่า คือ a และ b ดังนี้  y = a + bxตัวอย่างเช่น ผู้ใช้บริการโทรศัพท์มือถือเสียค่าบริการรายเดือน ๆ ละ 500 บาท และค่าโทรศัพท์นาทีละ 3 บาท ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ได้ คือ  ค่าใช้บริการโทรศัพท์มือถือต่อเดือน = 500 + (3 x จำนวนนาทีที่ใช้บริการ)นั่นคือ a = 500 และ b = 3  a คือ y – intercept ซึ่งเป็นความสูงของเส้น (ค่า y) เมื่อ x = 0 และ b คือความชันของเส้นตรงที่บอกอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าตัวแปรตามเมื่อตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลงค่าไป 1 หน่วย กล่าวคือ y จะมีค่าเปลี่ยนไป b หน่วยต่อทุกหน่วยของ x ที่เปลี่ยนค่าไปเครื่องหมายของค่า b สอดคล้องกับค่าสหสัมพันธ์ r โดยจะบอกว่าค่าของตัวแปร x และ y แปรผันตามกันหรือมีทิศทางสวนกัน  b = 0 แสดงว่า ตามสมการเส้นตรงนั้น x ไม่มีผลทำให้ y เปลี่ยนแปลงค่าb > 0 แสดงว่า เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะเพิ่มขึ้น และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะลดลงและ b < 0 แสดงว่า เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น  ตัวอย่างลักษณะเส้นตรงที่มีความชันเป็นบวกและลบแสดงในภาพ  1.  ภาพ  1.   กราฟ 2 รูปที่มี intercept และความชันต่างกัน  สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y นี้เรียกว่า สมการถดถอย (regression equation) และเส้นตรงที่สร้างขึ้นตามสมการถดถอยเรียกว่า เส้นถดถอย (regression line)คำว่า การถดถอย มีที่มาจาก Sir Francis Galton ซึ่งเป็นบุคคลแรกที่ใช้คำนี้เมื่อเขาศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความสูงของบุตรชายและบิดา เขาสรุปไว้ในปี ค.ศ. 1885 โดยทั่วไปบุตรชายที่มีบิดาสูงกว่าค่าเฉลี่ยจะสูงกว่าคนอื่น ๆ โดยเฉลี่ย แต่อย่างไรก็ตามเขาจะไม่สูงเท่าบิดาของเขา ในทางกลับกัน บุตรชายที่มีบิดามีความสูงต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะสูงน้อยกว่าคนอื่น ๆ โดยเฉลี่ย แต่เขาก็ยังคงสูงกว่าบิดาของเขา อาจมองการสร้างสมการถดถอยว่าเป็นการนำค่าตัวแปร x ไปอธิบายความผันแปรของค่าตัวแปร y เช่น สมมุติว่าสนใจศึกษาน้ำหนักของผู้หญิง ลองพิจารณาสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักและความสูงของผู้หญิง ต่อไปนี้  น้ำหนัก (กิโลกรัม) = – 110 + ความสูง (เซนติเมตร)  สมการนี้ได้นำความสูงของผู้หญิงไปช่วยอธิบายว่า เหตุใดผู้หญิงแต่ละคนจึงมีน้ำหนักแตกต่างกัน กล่าวคือ เป็นเพราะแต่ละคนสูงไม่เท่ากัน คนที่สูงมากกว่าคนอื่น 1 เซนติเมตร ควรมีน้ำหนักมากกว่า 1 กิโลกรัม เป็นต้น ทั้งนี้ยังมีปัจจัยอื่นอีกหลายอย่างที่ทำให้ผู้หญิงแต่ละคนมีน้ำหนักไม่เท่ากัน เพราะคนที่สูงเท่ากันก็ยังมีที่น้ำหนักไม่เท่ากัน ดังนั้น หากสามารถหาปัจจัยหรือตัวแปรอิสระต่าง ๆ ไปอธิบายความผันแปรของน้ำหนักได้เพิ่มมากขึ้น ซึ่งหมายถึง หาคำอธิบายของการที่แต่ละคนน้ำหนักแตกต่างกันได้ดีขึ้น การคาดคะเนน้ำหนักก็จะใกล้เคียงขึ้น

 

การสร้างสมการถดถอย

สมการถดถอยกับขอบเขตการใช้งาน